प्रस्तुतकर्ता: श्री पुनाराम साहू सर के मार्गदर्शन में तैयार
गणित केवल संख्याओं का खेल नहीं है, बल्कि यह तर्क और विश्लेषण की कला है। चाहे आप स्कूली छात्र हों या सरकारी परीक्षा (PSC, SSC, Banking) के अभ्यर्थी, गणित के बुनियादी सिद्धांतों और वैदिक गणित की गति का ज्ञान होना अनिवार्य है। इस लेख में हम परिमेय संख्याओं से लेकर भारतीय गणितज्ञों के योगदान और मानसिक योग्यता तक के सभी पहलुओं को कवर करेंगे।
1. परिमेय संख्याएँ और उनकी संक्रियाएँ
परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) वे संख्याएँ हैं जिन्हें
p/qp/qके रूप में लिखा जा सकता है।
मूल संक्रियाएँ:
- जोड़ना और घटाना: हरों (Denominators) का लघुतम समापवर्तक (LCM) लेकर उन्हें समान बनाया जाता है, फिर अंशों (Numerators) को जोड़ा या घटाया जाता है।
- गुणा: अंश का अंश से और हर का हर से गुणा किया जाता है।
- भाग: दूसरी भिन्न को उसके व्युत्क्रम (Reciprocal) से गुणा किया जाता है।
- बीच की संख्या ज्ञात करना: दो परिमेय संख्याओं
aaऔरbbके बीच की संख्या ज्ञात करने के लिए(a+b)/2(a+b)/2का उपयोग किया जाता है।
2. अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion)
परिभाषा: दो समान इकाइयों वाली मात्राओं की तुलना ‘अनुपात’ कहलाती है। जब दो अनुपात बराबर हों, तो वे ‘समानुपात’ कहलाते हैं।
प्रमुख गुणधर्म:
- योगानुपात (Componendo): यदि
a/b=c/da/b=c/d, तो(a+b)/b=(c+d)/d(a+b)/b=(c+d)/d। - अंतरानुपात (Dividendo): यदि
a/b=c/da/b=c/d, तो(a−b)/b=(c−d)/d(a−b)/b=(c−d)/d। - एकांतरानुपात (Alternendo): यदि
a/b=c/da/b=c/d, तोa/c=b/da/c=b/d। - व्युत्क्रमानुपात (Invertendo): यदि
a/b=c/da/b=c/d, तोb/a=d/cb/a=d/c।
3. वाणिज्य गणित (Commercial Math)
बैंकिंग और ब्याज गणना:
- बचत खाता (Savings): इसमें दैनिक या मासिक शेष पर साधारण ब्याज मिलता है।
- सावधि जमा (Fixed Deposit – FD): एक निश्चित अवधि के लिए एकमुश्त जमा राशि पर चक्रवृद्धि ब्याज।
- आवर्ती जमा (Recurring Deposit – RD): प्रति माह एक निश्चित राशि जमा की जाती है और अंत में ब्याज सहित भुगतान मिलता है।
आयकर की गणना (Salaried Class):
आयकर की गणना ‘सकल वेतन’ में से ‘मानक कटौती’ और अन्य बचत (80C आदि) घटाकर की जाती है। भारत में वर्तमान में ‘पुरानी’ और ‘नई’ दो टैक्स व्यवस्थाएं प्रचलित हैं।
4. अंकगणित के आधार: गुणनखंड, LCM और HCF
- गुणखंड (Factors): वे संख्याएं जो किसी दी गई संख्या को पूर्णतः विभाजित करती हैं।
- महत्तम समापवर्त्य (HCF): वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को विभाजित करे।
- लघुतम समापवर्तक (LCM): वह सबसे छोटी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं से विभाज्य हो।
5. वैदिक गणित (Vedic Mathematics)
वैदिक गणित प्राचीन भारतीय पद्धति है जो गणनाओं को बिजली की गति से करने में मदद करती है।
- संक्रियाएँ: इसमें ‘निखिलम’ और ‘ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्’ जैसी विधियों से बड़े गुणा-भाग आसान हो जाते हैं।
- वर्ग और घन: विशेष सूत्रों द्वारा किसी भी संख्या का वर्ग (Square) और घन (Cube) पलक झपकते निकाला जा सकता है।
- बीजांक (Digit Sum): किसी संख्या के अंकों का तब तक योग करना जब तक एक अंक प्राप्त न हो। इसका उपयोग उत्तर की शुद्धता जाँचने (Checking Answers) में किया जाता है।
6. महान भारतीय गणितज्ञ और उनका कृतित्व
भारतीय गणित का इतिहास अत्यंत समृद्ध है:
- आर्यभट्ट: शून्य (Zero) की खोज और पाई (
ππ) का सटीक मान। - वराह मिहिर: त्रिकोणमिति और खगोल विज्ञान में अद्भुत योगदान।
- ब्रह्मगुप्त: शून्य के साथ गणना के नियम और चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल।
- भास्कराचार्य: ‘लीलावती’ ग्रंथ के रचयिता, बीजगणित के विशेषज्ञ।
- श्रीनिवास रामानुजन: संख्या सिद्धांत (Number Theory) और अनंत श्रेणियों (Infinite Series) के जादूगर।
7. सांख्यिकी और प्रायिकता (Statistics & Probability)
- माध्य (Mean): सभी आंकड़ों का औसत।
- माध्यिका (Median): व्यवस्थित आंकड़ों के बीच का मान।
- बहुलक (Mode): सबसे अधिक बार आने वाला आंकड़ा।
- प्रायिकता (Probability): किसी घटना के होने की संभावना। इसमें ‘जोड़’ और ‘गुणा’ के प्रमेयों का उपयोग जटिल समस्याओं को सुलझाने में होता है।
8. व्यावहारिक और व्यवहारिक गणित
दैनिक जीवन में उपयोग होने वाले महत्वपूर्ण विषय:
- लाभ-हानि और प्रतिशत: व्यापारिक गणनाओं के लिए।
- ब्याज और औसत: वित्तीय प्रबंधन के लिए।
- समय, गति और दूरी: यात्रा और भौतिकी संबंधी समस्याओं के लिए।
- नदी और नाव: सापेक्ष गति (Relative Speed) की गणना के लिए।
9. सामान्य मानसिक योग्यता (Reasoning & Mental Ability)
प्रतियोगी परीक्षाओं में तर्कशक्ति का बड़ा महत्व है:
- सादृश्य (Analogy): संबंधों की पहचान करना।
- विजातीय छाँटना (Odd One Out): समूह से अलग शब्द या अंक ढूँढना।
- सांकेतिक भाषा (Coding-Decoding): गुप्त कोड को डिकोड करना।
- वर्णमाला और दिशा परीक्षण: तार्किक क्रम और दिशा का ज्ञान।
- कथन और कारण: तार्किक निष्कर्ष निकालना।
- आकृति श्रेणी और लुप्त अंक: पैटर्न्स को पहचानना और छूटे हुए अंकों को भरना।
निष्कर्ष
गणित केवल एक विषय नहीं, बल्कि जीवन जीने का एक तरीका है। वैदिक गणित की तेजी और आधुनिक सांख्यिकी का विश्लेषण मिलकर किसी भी समस्या को सरल बना सकते हैं। निरंतर अभ्यास और महान गणितज्ञों की विधियों को अपनाकर आप भी गणित में महारत हासिल कर सकते हैं।
FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)
1. वैदिक गणित में बीजांक क्या है?
बीजांक किसी संख्या के अंकों का योग है जब तक कि वह एक अंक (1-9) न बन जाए। इसका उपयोग गुणा या भाग के उत्तर की सत्यता जाँचने के लिए किया जाता है।
2. सावधि जमा (FD) और आवर्ती जमा (RD) में क्या अंतर है?
FD में पैसा एक बार में जमा किया जाता है, जबकि RD में हर महीने एक निश्चित राशि जमा की जाती है।
3. रामानुजन संख्या क्या है?
1729 को रामानुजन संख्या कहा जाता है क्योंकि यह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है (
13+12313+123और
93+10393+103)।
4. माध्य, माध्यिका और बहुलक में क्या संबंध है?
बहुलक = 3 (माध्यिका) – 2 (माध्य)।
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यूजर के लिए निर्देश: यह पोस्ट पूरी तरह तैयार है। इसे अपनी वेबसाइट पर पब्लिश करते समय गणितीय सूत्रों को
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